几何分布的期望和方差公式推导

在概率论中，几何分布是一种描述在独立重复试验中，首次成功发生在第 $ k $ 次试验的概率分布。它有两种形式：一种是表示首次成功发生在第 $ k $ 次试验（支持集为 $ \{1, 2, 3, \dots\} $），另一种是表示在首次成功前失败的次数（支持集为 $ \{0, 1, 2, \dots\} $）。本文将围绕第一种形式进行讨论，即首次成功发生在第 $ k $ 次试验的情况。

一、几何分布的定义

设随机变量 $ X $ 表示在独立重复试验中，首次成功发生在第 $ k $ 次试验的次数，则 $ X $ 服从参数为 $ p $ 的几何分布，记作 $ X \sim \text{Geo}(p) $，其中 $ 0 < p < 1 $ 是每次试验成功的概率。

其概率质量函数（PMF）为：

$$

P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, 3, \dots

$$

二、期望值的推导

几何分布的期望值 $ E[X] $ 表示在平均情况下，需要进行多少次试验才能获得首次成功。

推导过程：

$$

E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X = k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1 - p)^{k - 1} p

$$

令 $ q = 1 - p $，则上式变为：

$$

E[X] = p \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k - 1}

$$

利用无穷级数求和公式：

$$

\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k - 1} = \frac{1}{(1 - q)^2} = \frac{1}{p^2}

$$

因此，

$$

E[X] = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}

$$

三、方差的推导

方差 $ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $

我们先计算 $ E[X^2] $：

$$

E[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k^2 \cdot (1 - p)^{k - 1} p

$$

同样令 $ q = 1 - p $，则：

$$

E[X^2] = p \sum_{k=1}^{\infty} k^2 q^{k - 1}

$$

利用已知的级数结果：

$$

\sum_{k=1}^{\infty} k^2 q^{k - 1} = \frac{1 + q}{(1 - q)^3} = \frac{1 + (1 - p)}{p^3} = \frac{2 - p}{p^3}

$$

因此，

$$

E[X^2] = p \cdot \frac{2 - p}{p^3} = \frac{2 - p}{p^2}

$$

再计算方差：

$$

\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2 - p}{p^2} - \left(\frac{1}{p}\right)^2 = \frac{2 - p - 1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}

$$

四、总结表格

五、小结

几何分布常用于建模“首次成功”的事件，例如在实验中第一次成功所需的尝试次数。通过数学推导可以得出其期望与方差，这些统计量对于理解该分布的行为非常重要。在实际应用中，若已知成功概率 $ p $，即可直接使用上述公式快速计算期望与方差，从而对随机现象进行更深入的分析。